Presentacion_curvas

INTRODUCCIÓN: Líneas y Superficies Curvas

Entrada: Conjunto de funciones matemáticas

INTRODUCCIÓN: Líneas y Superficies Curvas

Entrada: Conjunto de Puntos de Coordenadas

SUPERFICIES CUADRICAS

Representación Cartesiana

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ $=$ $r^{2}$

Representación Paramétrica

$x=$ $r$ $\cos$ $\varphi$ $\cos$ $\theta$

$-\pi$$\leq$ $\varphi$ $\leq$$\pi$

$y=$ $r$ $\cos$ $\varphi$ $\cos$ $\theta$

$-\pi/2$$\leq$ $\theta$ $\leq$$\pi/2$

$z=$ $r$ sen $\varphi$

Esfera

Parametros:

1. r

2. $\theta$

3. $\varphi$

SUPERFICIES CUADRICAS

Representación Cartesiana

$(x/$ $r_x$ $)^{2}$ + $(y/$ $r_y$ $)^{2}$ + $(z/$ $r_z$ $)^{2}$ $= 1$

Representación Paramétrica

$x=$ $r_x$ cos $\varphi$ $\cos$ $\theta$

$-\pi$$\leq$ $\varphi$ $\leq$$\pi$

$y=$ $r_x$ $\cos$ $\varphi$ $\cos$ $\theta$

$-\pi/2$$\leq$ $\theta$ $\leq$$\pi/2$

$z=$ $r_x$ sen$\varphi$

Elipsoide

$\quad $No Olvidar el Toro

SUPERCUADRICOS

Concepto

SUPERCUADRICOS

Superelipse

Representación Cartesiana

$(x/$ $r_x$ $)^{2/}$ $^{S}$ + $(y/$ $r_y$ $)^{2/}$ $^{S}$ $=$ 1

Representación Paramétrica

$x=$ $r_x$ $\cos$ $^{S}$ $\theta$

$y=$ $r_y$ $\cos$ $^{S}$ $\theta$

$-\pi$$\leq$ $\theta$ $\leq$$\pi$

Con $S$ $= 1$ obtenemos una elipse ordinaria.

SUPERCUADRICOS

Representación Cartesiana

$((x/$ $r_x$ $)^{2/}$ $^{S2}$ +$(y/$ $r_y$ $)^{2/}$ $^{S2}$ $)$ $^{S2/S1}$ +$(z/ $ $r_z$ $)^{2/}$ $^{S1}$ $= 1$

Representación Paramétrica

$x=$ $r_x$ $\cos$ $^{S1}$ $\varphi$ $\cos$ $^{S2}$ $\theta$

$-\pi/2$$\leq$ $\varphi$ $\leq$$\pi/2$

$y=$ $r_y$ $\cos$ $^{S1}$ $\varphi$ $\cos$ $^{S2}$ $\theta$

$-\pi$$\leq$ $\theta$ $\leq$$\pi$

$z=$ $r_z$ sen $^{S1}$ $\varphi$

Superelipsoide

Con $S1$ $=$ $S2$ $= 1$

$\ $ obtenemos una

elipsoide ordinaria.

REPRESENTACIONES DE SPLINE

EJEMPLO

REPRESENTACIONES DE SPLINE

EJEMPLO

REPRESENTACIONES DE SPLINE

1. Introducción.

2. Definición del Problema.

3. Continuidad.

4. Modos de Especificación.

REPRESENTACIONES DE SPLINE

Introducción

Usos:

1. Digitacilación de trazos. (Curvas de Interpolación)

2. Especificación de trayectorias de animación. (Curvas de Interpolación)

3. Herramienta de diseño para superficies de los objetos. CAD(Curvas de aproximación)

Ventaja

La curva se modifica y manipula (trasladar, girar y escalar) solo en los puntos de control.

REPRESENTACIONES DE SPLINE

Introducción

1.$ \ $ La curva realiza la interpolación.

2.$ \ $ La curva aproxima la interpolación.

3.$ \ $ Casco convexo.

4.$ \ $ Grafica de control.

REPRESENTACIONES DE SPLINE

Deficición del problema

Se pueden tener $1$ o varias secciones de spline.

Cada sección de la Spline se puede definir paramétricamente así:

$P($ $u$ $) = ( x($ $u$ $), y($ $u$ $), z($ $u$ $) )^{T} \qquad \qquad \quad \ $ $u_1$ $\leq$ $u$ $\leq$ $u_2$

La derivada de $P($ $u$ $)$ es el vector tangente paramétrico de la curva:

$P'($ $u$ $) = ( x'($ $u$ $), y'($ $u$ $), z'($ $u$ $) )^{T} \qquad \qquad$ $u_1$ $\leq$ $u$ $\leq$ $u_2$

REPRESENTACIONES DE SPLINE

Continuidad

Cada sección:

$P($ $u$ $) = ( x($ $u$ $), y($ $u$ $), z($ $u$ $) )^{T}$

$u_1$ $\leq$ $u$ $\leq$ $u_2$

Cada sección:

$P'($ $u$ $) = ( x'($ $u$ $), y'($ $u$ $), z'($ $u$ $) )^{T}$

$u_1$ $\leq$ $u$ $\leq$ $u_2$

Continuidad Geométrica

$G^{0}$: Si los segmentos se unen.

$G^{1}$: Si $($ademas de $G^{0}$ $)$ las direcciones de los vectores tangentes, aunque no necesariamente las magnitudes, son iguales.

Continuidad Paramétrica

$C^{n}$: Si $d^{n}/d$ $u$ $^{n}$ $P($ $u$ $)$, son iguales $($la enésima derivada en magnitud y dirección$)$

REPRESENTACIONES DE SPLINE

Continuidad

Reglas:

R1. $C^{1}$ $\rightarrow$ $G^{1}$ pero no al revés:

R2. Si $n$ $>$ $m$ entonces $C^{n}$ $\rightarrow$ $C^{m}$

Expresión de la R1.

REPRESENTACIONES DE SPLINE

Continuidad

Existen 3 modos equivalentes :

1. Conjunto de condiciones de frontera

2. Matriz característica de la Spline

3. Funciones de combinación

SPLINE CÚBICAS

1. Spline Cúbicas Naturales

2. Hermite

3. Spline Cardinales

4. Splines de Kochanek-Bartels

SPLINE CÚBICAS

Definicion del $P_b$. en el caso $ \qquad \qquad P($ $u$ $)=x($ $u$ $),y($ $u$ $),z($ $u$ $))^{T}$

de polinonios cúbicos $ \qquad \qquad \qquad \qquad u_1$ $\leq$ $u$ $\leq$ $u_2$

Para cada sección de la Spline:

$x($ $u$ $) = a_x$ $u^{3}$ $ + b_x$ $u^{2}$ $ + c_x$ $u$ $ + d_x$

$y($ $u$ $) = a_y$ $u^{3}$ $ + b_y$ $u^{2}$ $ + c_y$ $u$ $ + d_y$

$z($ $u$ $) = a_z$ $u^{3}$ $ + b_z$ $u^{2}$ $ + c_z$ $u$ $ + d_z$

$0 \leq$ $u$ $\leq 1$

Vectorialmente tenemos: $ \ $ $P($ $u$ $)=$ $a$ $u^{3}$ $+$ $b$ $u^{2}$ $+$ $c$ $u$ $+$ $d$ $,$ $ \qquad \quad 0 \leq$ $u$ $\leq 1$

Entonces: $ \qquad \qquad \qquad P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $C$

$ \quad \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} & 2u & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$ \quad \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \leq$ $u$ $\leq 1$

Tenemos $n+1$ puntos de control de coordenadas: $ \qquad P_k$ $ = ($ $x_k$ $,$ $y_k$ $,$ $z_k$ $)$ $ \qquad k $ $ = 0,1,2,...,n$

SPLINE CÚBICAS

Definicion del $P_b$. en el caso $ \qquad \qquad P($ $u$ $)= x($ $u$ $),y($ $u$ $),z($ $u$ $))^{T}$

$0 \leq$ $u$ $\leq 1 \qquad \qquad \qquad \ \ $

$P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $C$

$P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} & 2u & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$0 \leq$ $u$ $\leq 1$

$G_x \qquad G_y \qquad G_z$

$\downarrow \qquad \downarrow \qquad \downarrow$

$ G=\begin{bmatrix} g_1x & g_1y & g_1z \cr g_2x & g_2y & g_2z \cr g_3x & g_2y & g_3z \cr g_4x & g_2y & g_4z \cr \end{bmatrix}$

$ M=\begin{bmatrix} m_11 & m_12 & m_13 & m_14 \cr m_21 & m_22 & m_23 & m_24 \cr m_31 & m_23 & m_33 & m_34 \cr m_41 & m_24 & m_43 & m_44 \cr \end{bmatrix} $

Ahora:

$C $ $= $ $M $ $\bullet $ $G$

Donde:

Tanto $M $ como $G $ varían para cada tipo de curva.

$M $ es la matríz basica y $G $ es la matríz de restricciones o condiciones geométricas

Se tiene entonces: $\qquad P($ $u$ $) = $ $ U $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G $

SPLINE CÚBICAS

Superficies paramétricas bicúbicas

Generalización de la curva: $P($ $u$ $) = $ $ U $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G $ (donde el vector geométrico $G $ es una constante)

$i)\ $ Tomemos $s$ por $u$ $ , \ $ $P($ $u$ $) = $ $ U $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G $

$ii)\ $ Dejemos variar los puntos en $G $ en 3D a lo largo de un camino parametrizado en $u$ :

$P($ $s,u$ $) = $ $ S $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G ($ $u$ $), $

$ G(u)=\begin{bmatrix} G_1(u)\cr G_2(u)\cr G_3(u)\cr G_4(u)\end{bmatrix} $

$\qquad \ (1)$

Para un valor fijo $\ u_1$ $, P($ $s,u$ $)$ , es una curva porque $G ($ $u$ $)$ es constante. Haciendo $\ 0 \leq$ $u$ $\leq1$ se obtiene la familia de curvas que conforman la superficie.

SPLINES CÚBICAS

Superficies paramétricas bicúbicas

Tomando el caso en que $G_i ($ $u$ $)$ son cúbicas, se tiene que cada una puede ser representada como:

$G_i ($ $u$ $) = $ $ U $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G $ (donde el vector geométrico $G_i' $ , donde $\ G_i'$ $=$ $\begin{pmatrix} g_i1' \ g_i2' \ g_i3' \ g_i4'\cr \end{pmatrix}$ $^{T}$ , transponiendo y reemplazando en $(1)$ se obtiene:

$P($ $s,u$ $)=$ $ S $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} g_{11}' & g_12' & g_13' & g_14'\cr g_21' & g_22' & g_23' & g_24'\cr g_31' & g_22' & g_33' & g_34'\cr g_41' & g_22' & g_43' & g_44'\cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $M^{T} $ $\bullet$ $ U^{T}$ $=$ $ S $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G'$ $\bullet$ $M^{T} $ $\bullet$ $ U^{T}$

$\ 0 \leq$ $s$ $,$ $u$ $\leq1$

Escrito separadamente para cada coordenada se tiene:

$x($ $s,u$ $)=$ $ S $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G_x'$ $\bullet$ $M^{T} $ $\bullet$ $ U^{T}$ $,$

$y($ $s,u$ $)=$ $ S $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G_y'$ $\bullet$ $M^{T} $ $\bullet$ $ U^{T}$ $,$

$z($ $s,u$ $)=$ $ S $ $\bullet$ $M $ $\bullet$ $G_z'$ $\bullet$ $M^{T} $ $\bullet$ $ U^{T}$ $,$

SPLINES CÚBICAS

Splines Cúbicas Naturales

$P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} \ u^{2} \ u \ 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $C$

$P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} / 2u / 1 / 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$\ 0 \leq$ $s$ $,$ $u$ $\leq1$

Especificación con condiciones de frontera: $C^{2}$

Si se tienen $n+1$ puntos de control :

$n$ secciones curvas a ajustar

$4n$ coeficientes polinómicos (incógnitas)

$4n-4$ ecuaciones ( las 2 secciones a cada lado de un punto de control deven tener la $1a$ y la $2a$ derivadas iguales: para $n-1$ puntos, $4$ ecuaciones por punto )

Las posiciones $p_0$ y $p_n$ nos dan $2$ ecuaciones mas

Las otras $2$ ecuaciones se pueden establecer al definir como $0$ las segundas derivadas en $p_0$ y $p_n$

SPLINES CÚBICAS

$P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $M$ $\bullet $ $G$

$P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} & 2u & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $M$ $\bullet $ $G$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \leq$ $u$ $\leq1$

$ P($ $0$ $) = $ $p_k$ $\qquad P($ $1$ $) = $ $p_k$+$ \ _1$

$P'($ $0$ $) = $ $Dp_k$ (Derivada en el punto $p_k$ )

$P'($ $1$ $) = $ $Dp_k$+$ \ _1$ (Derivada en el punto $p_k$+$ \ _1$ )

$\qquad \qquad G_H \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ $M_H$ $\bullet $ $G_H$

$\qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow$

$ \begin{bmatrix} p_k \cr p_k+1 \cr Dp_k \cr Dp_k+1 \cr \end{bmatrix} $ $ \quad = \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 4 & 2 & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $ \quad \begin{bmatrix} a \cr b \cr c \cr d \cr \end{bmatrix} $

Splines de Hermite

Especificación con condiciones de frontera:

$p_k $ $= P($ $0$ $) = $ $a$ $+$ $b$ $+$ $c$ $+$ $d$

$p_k$+$ \ _1$ $= P($ $1$ $) = $ $d$

$Dp_k $ $= P'($ $0$ $) = $ $c$

$Dp_k$+$ \ _1$ $= P'($ $1$ $) = $ $3a$ $+$ $2b$ $+$ $c$

SPLINES CÚBICAS

$P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} \ u^{2} \ u \ 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $M$ $\bullet $ $G$

$P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} \ 2u \ 1 \ 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $ $ U $ $\bullet $ $M$ $\bullet $ $G$

$\ 0 \leq$ $u$ $\leq1$

$P($ $u$ $)=$ $ \begin{bmatrix} u^{3} \ u^{2} \ u \ 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $M_H$ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} p_k \cr p_k+1 \cr Dp_k \cr Dp_k+1 \cr \end{bmatrix} $

Splines de Hermite

$\qquad Matriz \ de \ Hermite$

$ \qquad \qquad \qquad \downarrow $

$ \begin{bmatrix} a \cr b \cr c \cr d \cr \end{bmatrix} $ $ =\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 1 \cr -3 & 3 & -2 & -1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $ \begin{bmatrix} p_k \cr p_k+1 \cr Dp_k \cr Dp_k+1 \cr \end{bmatrix} $

$P'($ $u$ $) = \quad $ $p_k$ $(2$ $u^{3}$ $-3$ $u^{2}$ $+$ $1$ $)+$ $p_k$+$ \ _1$ $(-2$ $u^{3}$ $($ $u^{2}$ $+$ $Dp_k$ $($ $u^{3}$ $-2$ $u^{2}$ $+$ $u$ $)+$ $Dp_k$+$ \ _1$ $($ $u^{3}$ $-$ $u^{2}$ $)$

$\qquad \quad = \quad $ $p_k$ $H_0$ $($ $u$ $)+$ $p_k$+$ \ _1$ $H_1$ $($ $u$ $)$ $+$ $Dp_k$ $H_2$ $($ $u$ $)$ $)+$ $Dp_k$+$ \ _1$ $H_3$ $($ $u$ $)$

Los polinomios $\ H_i$ $($ $u$ $)$ para $\ k$ $= 0,1,2,3$ son las funciones de combinación.

SPLINES CÚBICAS

Splines de Hermite / ejemplos / continuidad entre secciones

Continuidad entre curvas:

$ \qquad \qquad \ Curva 1 \qquad \quad \ Curva 2$

$ \begin{bmatrix} P(0) \cr P(1) \cr P'(0) \cr P'(1)\cr \end{bmatrix} $ $\qquad \begin{bmatrix} P(1) \cr P(2) \cr k P'(1) \cr P'(2)\cr \end{bmatrix} $

Si $k$ $ > 0 \rightarrow G^{1}$

Si $k$ $ = 1 \rightarrow $ $C^{1}$

$ \qquad $Familia de curvas:

SPLINES CÚBICAS

Superficies de Hermite

$P($$s,u$$) = $$ S $$\bullet$$M $$\bullet$$G ($$u$$), $donde $ G(u)=\begin{bmatrix} G_1(u)\cr G_2(u)\cr G_3(u)\cr G_4(u)\end{bmatrix} $

El parche cúbico es una interpolación cúbica entre $p_k($$u$$) $ $= P($$0,u$$) \ $ y$\ P_k+1($$u$$)$ $= P(1$$,u$$)$ o, alternativamente, entre $\quad P( $$s,0$$)$ y $P($$s,1$$)$

Desarrollando para la coordenada x:

$P($$s,u$$) = $$ S $$\bullet$$M_H $$\bullet$$G_Hx ($$u$$) $$=$$S$$\bullet$$M_H $$\bullet$ $ \begin{bmatrix} p_k(u)\cr p_k+1(u)\cr Dp_k(u)\cr Dp_k+1(u)\end{bmatrix} _X$

SPLINES CÚBICAS

Superficies de Hermite

$P($$s,u$$)=$$S$$\bullet$$M$$\bullet$$G($$u$$)$ donde $ G(u)=\begin{bmatrix} G_1(u)\cr G_2(u)\cr G_3(u)\cr G_4(u)\end{bmatrix} $

$P($$s,u$$) = $$ S $$\bullet$$M $$\bullet$$G' $$\bullet$$M^{T} $$\bullet$$ U' $$,$

$\ 0 \leq$$s$$,$$u$$\leq1$

$ G_Hx=\begin{bmatrix} g_11' & g_12' & g_13' & g_14'\cr g_21' & g_22' & g_23' & g_24'\cr g_31' & g_22' & g_33' & g_34'\cr g_41' & g_22' & g_43' & g_44'\cr \end{bmatrix} $

Como:

$G_i ($$u$$) = $$ U $$\bullet$$M $$\bullet$$G_i' $ , donde $ G_i' $$ = $ $\begin{array} (( g_i1' \ g_i2' \ g_i3' \ g_i4' )\end{array}$$^{T}$

Entonces es el vector geométrico $G_i ($$u$$) $ se puede representar en la forma de hermite asi:

$ \qquad \qquad \qquad \qquad s = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad s = 1$

$P_kx ($$u$$) $$=$$U$$\bullet$$M_H $$\bullet$ $ \begin{bmatrix} g_11'\cr g_12'\cr g_13'\cr g_11'\end{bmatrix} _X$ $P_kx ($$u$$) $$=$$U$$\bullet$$M_H $$\bullet$ $ \begin{bmatrix} g_21'\cr g_22'\cr g_23'\cr g_21'\end{bmatrix} _X$

$DP_kx ($$u$$) $$=$$U$$\bullet$$M_H $$\bullet$ $ \begin{bmatrix} g_31'\cr g_32'\cr g_33'\cr g_31'\end{bmatrix} _X$ $DP_k+1x ($$u$$) $$=$$U$$\bullet$$M_H $$\bullet$ $ \begin{bmatrix} g_41'\cr g_42'\cr g_43'\cr g_41'\end{bmatrix} _X$

SPLINES CÚBICAS

Superficies de Hermite

$ G_Hx=\begin{bmatrix} x(0,0) & x(0,1) & \dfrac{\partial}{\partial u} x(0,0) & \dfrac{\partial}{\partial u} x(0,1)\cr x(1,0) & x(1,1) & \dfrac{\partial}{\partial s} x(1,0) & \dfrac{\partial}{\partial s} x(1,1)\cr \dfrac{\partial}{\partial s} x(0,0) & \dfrac{\partial}{\partial s} x(0,1) & \dfrac{\partial^{2}}{\partial s \partial u} x(0,0) & \dfrac{\partial^{2}}{\partial s \partial u} x(0,1)\cr \dfrac{\partial}{\partial s} x(1,0) &\dfrac{\partial}{\partial s} x(1,1) & \dfrac{\partial^{2}}{\partial s \partial u} x(1,0) & \dfrac{\partial^{2}}{\partial s \partial u} x(1,1)\cr \end{bmatrix} $

$ G_Hx=\begin{bmatrix} g_11' & g_12' & g_13' & g_14'\cr g_21' & g_22' & g_23' & g_24'\cr g_31' & g_22' & g_33' & g_34'\cr g_41' & g_22' & g_43' & g_44'\cr \end{bmatrix} $

SPLINES CÚBICAS

Superficies de Hermite/Continuidad

$\qquad \qquad \qquad \qquad Parche 1$$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$Parche 2$

$ \begin{bmatrix} - & - & - & - \cr g_21' & g_22' & g_23' & g_24'\cr - & - & - & - \cr g_41' & g_42' & g_43' & g_44'\cr \end{bmatrix}$ $\quad \begin{bmatrix} g_21' & g_22' & g_23' & g_24'\cr - & - & - & - \cr kg_41' & kg_42' & kg_43' & kg_44'\cr - & - & - & - \cr \end{bmatrix}$

Si $k$$ > 0 \rightarrow G^{1} \qquad \qquad$Si $k$$ = 1 \rightarrow $$C^{1}$

SPLINES CÚBICAS

$P($$u$$) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $$ U $$\bullet $$M$$\bullet $$G$

$P'($$u$$) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} & 2u & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $$ U $$\bullet $$M$$\bullet $$G$

$ 0 \leq$$u$$\leq1$

$\qquad P($$0$$) = $$p_k$

$\qquad P($$1$$) = $$p_k+1$

$\qquad P'($$0$$) = 1/2 (1-$$t$$) $$p_k+1$$ - $$p_k-1$

$\qquad P'($$1$$) = 1/2 (1-$$t$$) $$p_k+2$$ - $$p_k$

$\quad \ $donde $ t $ es el parámetro de tensión

Splines Cardinales

Especificación con condiciones de frontera:

SPLINES CÚBICAS

$P($$u$$) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $$ U $$\bullet $$M$$\bullet $$G$

$P'($$u$$) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} & 2u & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $$ U $$\bullet $$M$$\bullet $$G$

$ 0 \leq$$u$$\leq1$

$\quad M_c =\begin{bmatrix} -s' & 2-s & s-2 & s\cr 2s & s-3 & 3-2s & -s \cr -s & 0 & s & 0\cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr \end{bmatrix}$ $ \qquad \qquad $ Donde $ s $ $= ( 1 -$ $ t $$ ) / 2$

Splines Cardinales

$P($$u$$) =$$\begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \end{bmatrix}$$\bullet$$M_C $$\bullet$ $ \begin{bmatrix} p_k-1\cr p_k\cr p_k+1\cr p_k+2\end{bmatrix} $

$P($$u$$)=$$p_k-1$$(-$$s$$u^{3}$$+2$$s$$u$$-$$s$$u$$)+$$p_k$$[(2-$$s$$)$$u^{3}$$+($$s$$-3)$$u^{2}$$+1]$

$\qquad \ +$$p_k+1$$[($$s$$-2)$$u^{3}$$+(3-2$$s$$)$$u^{2}$$+$$s$$u$$]+$$p_k+2$$($$s$$u^{3}$$-$$s$$u^{2}$$)$

$\qquad \ =$$p_k-1$$CAR_0$$($$u$$)+$$p_k$$CAR_1$$($$u$$)+$$p_k+1$$CAR_2$$($$u$$)+$$p_k+2$$CAR_3$$($$u$$)+$

$\quad $ Los polinomios $CAR_k$$($$u$$) $ para $k$ $= 0,1,2,3$ son las $funciones \ de \ combinación.$

SPLINE CÚBICAS

$P($$u$$) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $$ U $$\bullet $$M$$\bullet $$G$

$P'($$u$$) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} & 2u & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a & b & c & d \cr \end{bmatrix} $ $^{T} = $$ U $$\bullet $$M$$\bullet $$G$

$ 0 \leq$$u$$\leq1$

Splines Kochanek-Bartels

Especificación con condiciones de frontera:

$P($$0$$)=$$p_k$

$P($$1$$)=$$p_k+1$

$P'($$0$$)= 1/2(1-$$t$$)[(1+$$b$$)(1-$$c$$)($$p_k$$-$$p_k-1$$)+(1-$$b$$)(1+$$c$$)($$p_k+1$$-$$p_k$$)]$

$P'($$1$$)= 1/2(1-$$t$$)[(1+$$b$$)(1+$$c$$)($$p_k+1$$-$$p_k$$)+(1-$$b$$)(1-$$c$$)($$p_k+2$$-$$p_k+1$$)]$

donde:

$t $ es el parámetro de tensión

$b $ es el parámetro de sesgo : controla la distancia que cada curva se inclina en cada sección.

$t $ es el parámetro de tensión : Del vector tangente a lo largo de las fronteras de las secciones.

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

1. Curvas de Pierre Bezier

2. Propiedades

3. Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier

4. Curvas Cúbicas de Bezier

5. Superficies de Bezier

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

1. Curvas de Pierre Bezier

$P($ $u$ $)=(x($ $u$ $),y($ $u$ $),z($ $u$ $)^{T} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ Tenemos $ n+1 $ puntos de control de coordenadas

$0 \leq$ $u$ $\leq$ $1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad $ $ p_k $ ( $x_k$ , $y_k$ , $ z_k$ ), $ \quad \ \qquad $ $k$ $=0,1,2,...,n$

Especificación con funciones de combinación:

$P($ $u$ $)= \sum $ $u$ $p_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n$ $ \longrightarrow$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $=$ $C($ $n,k$ $)$ $u$ $^{k}(1-$ $u$ $)^{n-k}$

$\qquad \qquad 0$ $\leq$ $u$ $\leq$ $1$ $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad $ $\downarrow$

$\downarrow \qquad $ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $=( 1-$ $u$ $)$ $BEZ_k,n-1($ $u$ $)$ $+$ $u$ $BEZ_k-1,n-1($ $u$ $)$

$x($ $u$ $)= \sum $ $u$ $x_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n \qquad $ $BEZ_k,k($ $u$ $)$ $=$ $u$ $^{k} \quad $ $BEZ_0,k($ $u$ $)$ $=(1-$ $u$ $)^{k}$

$y($ $u$ $)= \sum $ $u$ $y_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n \qquad \qquad \qquad $ $C($ $n,k$ $)$ $=n!/(k!(n-k)!)$

$z($ $u$ $)= \sum $ $u$ $z_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ $\downarrow $

$ \qquad \qquad 0$ $\leq$ $u$ $\leq$ $1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ $C($ $n,k$ $)$ $=$ $C($ $n,k-1$ $)$ $(n-k+1)/k \ n>k$

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

Tenemos $ n+1 $ puntos de control de coordenadas: $\quad p_k $ ( $x_k$ , $y_k$ , $ z_k$ ), $ \quad \ \qquad $ $k$ $=0,1,2,...,n$

$P($ $u$ $)= \sum $ $u$ $p_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $,$ $k=0,1,2,..,n$ $ \quad 0$ $\leq$ $u$ $\leq$ $1$

Propiedades

1. Una curva de Bezier es un polinomio de grado n (uno menos que el número de puntos de control)

2. La curva siempre pasa a través del primer y último puntos de control

$P($ $0$ $)=$ $p_0 \qquad \qquad $ $P($ $1$ $)=$ $p_n$

3. Asimismo $ \quad \quad P'($ $0$ $)=-n$ $p_0$ $+n$ $p_1$ $\quad \quad \ \ P($ $1$ $)=$ $p_n$

Es decir, la tangente de la curva en el extremo está a lo largo de la línea que une ese extremo al punto de control adyacente.

4. También: $\qquad \sum$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $=1 \qquad k=0,1,2,...,n$

De esto se tiene que la curva de Bezier cae dentro del casco convexo de los puntos de control.

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier

Tenemos $ n+1 $ puntos de control de coordenadas: $\quad p_k $ ( $x_k$ , $y_k$ , $ z_k$ ), $ \quad \ \qquad $ $k$ $=0,1,2,...,n$

$P($ $u$ $)= \sum $ $u$ $p_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $,$ $k=0,1,2,..,n$ $ \quad 0$ $\leq$ $u$ $\leq$ $1$

1. Las curvas cerradas se pueden generar al especificar el primer y ultimo punto de control en la misma posición.

2. Al especificar múltiples puntos de control en la misma posición se obtiene mas peso para la posición.

1. Propiedad 3 : La tangente de la curva en el extremo está a lo largo de la línea que une ese extremo al punto de control adyacente.

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier: Empalme de 2 secciones

Propiedad 3 : La tangente de la curva en el extremo está a lo largo de la línea que une ese extremo al punto de control adyacente.

Ejemplo para continuidad : $ G^{0}$ $, $ $ G^{1}$ $, $ $ C^{1}$

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

Curvas Cúbicas de Bezier

Tenemos $ n+1 $ puntos de control de coordenadas: $\quad p_k $ ( $x_k$ , $y_k$ , $ z_k$ ), $ \quad \ \qquad $ $k$ $=0,1,2,...,n$

$BEZ_0,3($ $u$ $)$ $=(1-$ $u$ $)^{3}$

$BEZ_1,3($ $u$ $)$ $=3$ $u$ $(1-$ $u$ $)^{2}$

$BEZ_2,3($ $u$ $)$ $=3$ $u$ $^{2}(1-$ $u$ $)$

$BEZ_3,3($ $u$ $)$ $=3$ $u$ $^{3}$

$P($ $u$ $)= \sum $ $u$ $p_k$ $BEZ_k,n($ $u$ $)$ $,$ $k=0,1,2,..,n$ $ \quad 0$ $\leq$ $u$ $\leq$ $1$

Especificación con funciones de combinación:

Especificación con matríz característica:

$P($ $u$ $)=$ $ \begin{bmatrix} u^{3} & u^{2} & u & 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet $ $M_Bez$ $\bullet $ $ \begin{bmatrix} p_0 \cr p_1 \cr p_2 \cr p_3 \cr \end{bmatrix} $ $\qquad M_Bez$ $ =\begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \cr 3 & -6 & 3 & 0 \cr -3 & 3 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 \cr \end{bmatrix} $

CURVAS Y SUPERFICIES DE BEZIER

Superficies de Bezier

$x($ $s,u$ $)=$ $S$ $\bullet $ $M_B$ $\bullet $ $G_Bx'$ $\bullet $ $M_B ^{T}$ $U^{T}$

$y($ $s,u$ $)=$ $S$ $\bullet $ $M_B$ $\bullet $ $G_By'$ $\bullet $ $M_B^{T}$ $U^{T}$

$z($ $s,u$ $)=$ $S$ $\bullet $ $M_B$ $\bullet $ $G_Bz'$ $\bullet $ $M_B ^{T}$ $U^{T}$

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

1. Curvas de B-Spline

2. Uniformes y Periódicas

3. Cúbicas y Periódicas

4. Uniformes y Abiertas

5. No Uniformes

6. Superficies de B-Spline

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

1. Curvas de B-Spline

Ventajas respecto a las curvas de Bezier: $ \ $ 1. El grado del polinomio se puede determinar independientemente del número de puntos de control.

2. Permiten control local $ \ $ Desventaja $ \ $ 1. Complejidad.

Tenemos $ n+1 $ puntos de control de coordenadas: $\quad p_k $ ( $x_k$ , $y_k$ , $ z_k$ ), $ \quad \ \qquad $ $k$ $=0,1,2,...,n$

$S_3 \ $ es definida por $p_0,p_1,p_2,p_3$

$S_4 \ $ es definida por $p_1,p_2,p_3,p_4$

Definición $ \ $ $P($ $u$ $)= \sum $ $p_k$ $B_k,d($ $u$ $)$ $,$ $\qquad \qquad \qquad \qquad k=0,1,2,..,n$ $\qquad \qquad \qquad \ 2 \leq$ $d$ $\leq n+1 \ $ valor fijo $\qquad \qquad \qquad \quad u_min \leq$ $u$ $\leq u_max$

Ejemplo $ \qquad n=4 \qquad \qquad$ $d$ $=4$

Vector de nudo de $n+$ $d$ $+1 (9) $ pos:

$ \swarrow \qquad \searrow $

$u_min \qquad \qquad \qquad u_max$

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

1. Curvas de B-Spline

$P($ $u$ $)=(x($ $u$ $),y($ $u$ $),z($ $u$ $)^{T} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ Tenemos $ n+1 $ puntos de control de coordenadas

$0 \leq$ $u$ $\leq$ $1$ $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad $ $ p_k $ ( $x_k$ , $y_k$ , $ z_k$ ), $ \quad \ \qquad $ $k$ $=0,1,2,...,n$

Especificación con funciones de combinación (Cox-deBoor):

$P($ $u$ $)= \sum $ $p_k$ $B_k,d($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n$ $ \searrow$

$u_min$ $ \leq $ $u$ $ \leq $ $u_max \qquad \qquad $ $B_k,d($ $u$ $)$ $=($ $u$ $-$ $u_k$ $)/($ $u_k+d-1$ $-$ $u_k$ $)$ $B_k,d-1($ $u$ $)$

$+($ $u_k+d$ $-$ $u$ $)/($ $u_k+d$ $-$ $u_k+1$ $)$ $B_k+1,d-1($ $u$ $)$

$ \downarrow $

$B_k,d($ $u$ $)$ $= \quad 1, $ si $ \ $ $u_k$ $ \leq $ $u$ $ \leq $ $u_k+1$

$ \qquad $ $0,$ de otro modo

$x($ $u$ $)= \sum $ $u$ $x_k$ $B_k,d($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n$

$y($ $u$ $)= \sum $ $u$ $y_k$ $B_k,d($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n$

$z($ $u$ $)= \sum $ $u$ $z_k$ $B_k,d($ $u$ $)$ $, k=0,1,2,...,n$

$u_m$$_i$$_n$ $ \leq $ $u$ $ \leq $ $u_m$$_a$$_x$

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Propiedades

1. La curva resultante es un polinomio de grado $ \ d $ $-1 $ y continuidad $C$ $^{d}$ $^{-2}$

2.$ \ n+1 \ $puntos de control y funciones de combinación

3. Cada funcion de combinación $ \ B_k$, $_d$ $($ $u$ $) \ $ se define sobre $ \ d \ $ subintervalos del rango total de $ \ u \ $ , empezando con el valor de nudo $ \ u_k$

4. El rango del parámetro $ \ u \ $ se divide en $ \ n+$ $d \ $ subintervalos entre los valores $\ n+$ $d$ $+1 \ $ que se especifican en el vector de nudo

5. Con el vector de nudo de $\ n+ \ $ $d$ $+1 \ pos: $ $\begin{Bmatrix} u_0, \ u_1, \ ...,u_n+d \cr \end{Bmatrix} \ $ la curva que resulta se define únicamente en el intervalo que va desde el valor de nudo $ \ u_d$$- $$_1(=u_m$$_i$$_n) \ $ hasta el valor $ \ u_n$$+ $$_1(=u_m$$_a$$_x). \ $ Es decir, se tienen $: \ n-$ $d$ $+2 \ $ secciones de curva.

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Propiedades

6. Cada sección de curva $ \ ($ entre 2 valores de nudo sucesivos $ \ )$ está influenciada por $ \ d \ $ puntos de control

7. La mayoría de los puntos de control afecta $ \ d \ $ secciones de curva

8. Para cualquier valor de $ \ u \ $ en el intervalo desde $ \ u_d$$+ $$_1 \ $ hasta $ \ u_n$$+ $$_1 \ $ se tiene:

$B_k$$, $$d($ $u$ $)$ $=1, \ $ para $ \ k$ $=0 \ $ hasta $ \ n$

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Especificación

1) Puntos de Control

2) Funciones de Combinación

$ \qquad \qquad \quad \ $ - $ \ d$

- Vector de Nudo

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Uniformes y Periódicas / Definición, Propiedades y Ejemplo

Definición:

El espaciado entre los valores de nudo es constante.

Propiedades:

1. Posee funciones periódicas de combinación

2. $ \ B_k$$, $$_d($ $u$ $)$ $=$ $B_k$$+$$_1$$, $$_d($ $u$ $+$ $ \nabla u$ $)$ $+$ $B_k$$+$$_2$$, $$_d($ $u$ $+2$ $ \nabla u$ $)$ $,$

donde $ \nabla u \ $ es la distancia entre valores de nudo adyacentes

Ejemplo:

$n=$ $d$ $=3 \ $ y $\begin{Bmatrix} 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 \cr \end{Bmatrix} \ $ $,\ $ se tienen las stes.: $ \ $ funciones de combinación

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Cúbicas y Periódicas

Para $ \ $ $d$ $=4 \ $ y $ \ n=3 $ se tiene el siguiente vector de nudo:

$\begin{Bmatrix} 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7 \cr \end{Bmatrix} \ $ y podemos calcular las funciones de combinación

Tambien, se pueden especificar mediante condiciones de frontera:

$P($ $0$ $)=1/6($ $p_0$ $+4$ $p_1$ $+$ $p_2$ $)$

$P($ $1$ $)=1/6($ $p_1$ $+4$ $p_2$ $+$ $p_3$ $)$

$P'($ $0$ $)=1/2($ $p_2$ $-$ $p_0$ $)$

$P'($ $1$ $)=1/2($ $p_3$ $-$ $p_1$ $)$

$P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} \ u^{2} \ u \ 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} \ 2u \ 1 \ 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$ 0 \leq$ $u$ $\leq1$

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

$P($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} u^{3} \ u^{2} \ u \ 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$P'($ $u$ $) = $ $ \begin{bmatrix} 3u^{2} \ 2u \ 1 \ 0 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet$ $ \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \cr \end{bmatrix} $ $^{T}$

$ 0 \leq$ $u$ $\leq1$

$M_B=$ $1/6 \begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \cr 3 & -6 & 3 & 0 \cr 3 & 0 & 3 & 0 \cr 1 & 4 & 1 & 0 \cr \end{bmatrix} $

Cúbicas y Periódicas

$P($ $u$ $)=$ $ \begin{bmatrix} u^{3} \ u^{2} \ u \ 1 \cr \end{bmatrix} $ $\bullet $ $M_B$ $\bullet $ $ \begin{bmatrix} p_0 \cr p_1 \cr p_2 \cr p_3 \cr \end{bmatrix} $

$B_0$$,$$_3$ $($ $u$ $)=1/6(1-$ $u$ $)^{3}$

$B_1$$,$$_3$ $($ $u$ $)=1/6(3$ $u$ $^{3}-6$ $u$ $^{2}+4)$

$B_2$$,$$_3$ $($ $u$ $)=1/6(-3$ $u$ $^{3}+3$ $u$ $^{2}+3$ $u$ $+1)$

$B_3$$,$$_3$ $($ $u$ $)=1/6$ $u$ $^{3}$

$ 0 \leq$ $u$ $\leq1$

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Uniformes y Abiertas Definición, Propiedades y Ejemplo

Definición:

El espaciado entre los valores de nudo es uniforme, excepto en los extremos, donde los valores de nudo se repiten $ \ d \ $ veces.

Propiedades:

1. Cálculo del vector de nudo $ \ u_j$ $: 0, \qquad \qquad$ para $ \ 0 \leq $ $j$ $<$ $d$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ $j$ $-$ $d$ $+1, \ \ \qquad$ para $ \ d$ $\leq$ $j$ $\leq n$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n-$ $d$ $+2, \ \ \qquad$ para $ \ j$ $>n$

2. Si $d$ $=n+1, $ tenemos las splines de BEZIER. Todos los val. de nudo son 0 o 1.

Ejemplos:

1. $ \ d$ $=2 \ $ y $ \ n=3, \quad$ $\begin{Bmatrix} 0, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 3 \cr \end{Bmatrix} \ $

2. $ \ d$ $=4 \ $ y $ \ n=3, \quad$ $\begin{Bmatrix} 0, \ 0, \ 0, \ 0, \ 1, \ 1, \ 1, \ 1 \cr \end{Bmatrix} \ , $ BEZIER.

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

No Uniformes / Definición, Propiedades y Ejemplo

Definición:

El espaciado entre los valores de nudo no es uniforme y algunos valores se pueden repetir

Propiedades:

Proporcionan mayor flexibilidad

Ejemplos:

1. $\begin{Bmatrix} 0, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 8, \ 8.5 \cr \end{Bmatrix} \ $

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

No Uniformes Racionales Cúbicas/ Definición, Propiedades

$x($ $u$ $)=X($ $u$ $)/W($ $u$ $),$

$y($ $u$ $)=Y($ $u$ $)/W($ $u$ $),$

$z($ $u$ $)=Z($ $u$ $)/W($ $u$ $)$

Donde $X($ $u$ $),Y($ $u$ $),Z($ $u$ $), $ son curvas polinómicas cuyos puntos de control $ se encuentran definidos en coordenadas homogéneas

Se puede pensar enb la curva como definida en el espacio homogéneo, como:

$P($ $u$ $)=[X($ $u$ $) \ Y($ $u$ $) \ Z($ $u$ $) \ W($ $u$ $)], $ como de costumbre, pasar del espacio homogéneo a $ \ 3-d \ $ equivale dividir por $W($ $u$ $).$

Cualquier curva no racional puede ser transformada en una racional al agregarle $W($ $u$ $)=1$

Los polinomios en la curva racional pueden ser Hermite, Bezier o de cualquier tipo. Cuando son B-Spline se tiene NURBS

Estas curvas son invariantes incluso respecto de transformaciones de perspectiva

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Conversión entre representaciones de Spline

Curva2 $G_2=?$ $M_2$

Curva1 $ \ $ $G_1$ $M_1$

$\longleftarrow$ $U$ $\bullet$ $G_1$ $\bullet$ $M_1$ $=$ $U$ $\bullet$ $G_2$ $\bullet$ $M_2$ $\longrightarrow$

$G_1$ $\bullet$ $M_1$ $=$ $U$ $\bullet$ $G_2$

$G_2$ $=$ $M^{-1}$$_2$ $\bullet$ $M_1$

Nota: Para convertir una curva de B-Spline $( $ya que esta no posee matríz basica explícita$)$, se debe primero convertir a Bezier

CURVAS Y SUPERFICIES DE B-SPLINE

Superficies de B-Spline

$x($ $s,u$ $)=$ $S$ $\bullet$ $M_B$$_S$ $\bullet$ $G'$$_B$$_S$$_x$ $\bullet$ $M^{T}$$_B$$_S$ $U^{T}$

$y($ $s,u$ $)=$ $S$ $\bullet$ $M_B$$_S$ $\bullet$ $G'$$_B$$_S$$_y$ $\bullet$ $M^{T}$$_B$$_S$ $U^{T}$

$z($ $s,u$ $)=$ $S$ $\bullet$ $M_B$$_S$ $\bullet$ $G'$$_B$$_S$$_z$ $\bullet$ $M^{T}$$_B$$_S$ $U^{T}$