Introdución

Debate histórico: En contra

Decada 70 y 80: Lakatos (1976) e Kline (1981)

• Descubrimento de teoremas sen saber demostralos.
• Pode alonxar as matemáticas dos estudantes menos capaces.
• Non son utiles para solucionar problemas cotidianos.

Decada 90: Entrada nuevas tecnologías

• ¿Rentabilidade?

Ultimos anos: Pluvinge (2007)

• Desmostración ≠ Actividade Matemática (e.g. Matemática árabe moi pobre en demostracións).

Debate histórico: A favor

Polya (1945)

• O alumno pode saber o que un razonamento lóxico riguroso.

Solow (1987)

• Comunicar una verdad utilizando el mismo idioma.
• Falta de metodoloxía

Hanna (1995), Ibañes y Ortega (1997) e Crespo e Pontebille (2005a, 2005b)

• Importancia da forma en que se presenta
• Demostrar ≠ Saber demostrar ≠ Aprender a demostrar

Bravo, Arteaga e Sol (2001) e Martinón (2009)

• Imporantes para formar intelectualmente o alumno.

Opinión dos autores: A favor

• Demostracións melloran capcacidades dos alumnos.
• Importante a forma de explicar.
• Plan de formación do profesorado.
• Importancia vital da progresividade

Experiencia de aula

2 grupos de 3º de ESO

Grupo Control: metodología tradicional

Grupo Experimental: trabajo con demostraciones

Demostraciones

• Irracionalidad de √2
• Fórmulas de Progresiones
• Identidades Notables
• Formula de Ecuación de 2º Grado
• Cardano - Vieta
• Vértice de una Parábola
• Suma de los Ángulos de un Triángulo
• Circuncentro - Incentro
• Teorema de Tales
• Teorema de Pitágoras
• Volumen de la Esfera

Demostraciones (II)

• Irracionalidad de √2

  Demostración por redución ao absurdo.

• Fórmulas de suma de Progresiones

  Demostración das formulas da suma finita dunha progresión aritmetica e da suma infinata dunha progresión xeométrica. Tamén se traballou no grupo control.

Demostraciones (III)

• Identidades Notables

  No grupo experimental traballouse tanto a demostracón aritmética como a xeométrica e no grupo control solo se traballou a demostración aritmética.

• Formula de Ecuación de 2º Grado

  Demostración xeométrica. Algúns alumnos non acabaron de entender as demostracións pero polo menos viron que a formula ten un sentido.

Demostraciones (IV)

• Cardano - Vieta

  Traballouse no grupo control como traballo voluntario.

• Vértice de una Parábola

  Demostración empregando Geogebra de porque o vértice dunha parábola está en x=-b/2a.

Demostraciones (V)

• Suma de los Ángulos de un Triángulo

  Demostradión de forma gráfica. Tamén feita no grupo control.

• Circuncentro - Incentro

  Demostración interactiva empregando Geogebra.

Demostraciones (VI)

• Teorema de Tales

  No consiguieron demostrar la proporcionalidad y solo algunos la entendieron.

• Teorema de Pitágoras

  Os alumnos fixeron traballos con distintas demostracións do Teorema. Tamén se traballou no grupo control.

• Relación entre vol. semiesfera, cilindro y cono.

Población y muestra

Coslada (Madrid) ⇒ IES. Rafael Alberti

2 grupos de 3º de ESO

Muestreo NO aleatorio

Muestra de tamaño escaso

Equilibrio en...

• Número de alumnos por clase.
• Distribución por sexo en los grupos.
• Número de repetidores.

Hipóteses e Probas

Os grupos control e experimental...

Non presentan diferencias ao inicio do curso

• Notas cursos anteriores.
• Proba de evaluación inicial.

Presentan diferencias ao final do curso

• Proba CDI.
• Proba de Resolución de problemas.

Método

Análise da Varianza (ANOVA)

Resultados

Os grupos control e experimental...

Non presentan diferencias ao inicio do curso

Observando as dúas variables (notas de cursos anteriores e avaliación inicial), podese concluír que non existen diferencias significativas nas medias entre os grupos.

Presentan diferencias ao final do curso

Observando as dúas variables (proba de problemas e proba CDI) podese concluír que existen diferencias significativas nos resultados.

Conclusións

Confirmanse as expectativas que se tiñan na investigación, corroborando que un uso adecuado das argumentacións e demostracións é beneficioso para os alumnos.

Reforza a opinión inicial dos autores. Consideran que tras unha formación do profesorado adecuada sobre como, cando e que demostrar, estos contidos se deberían introducir no currículo de forma máis explicita.

Limitacións

A melloría debese fundamentalemente a un aumento na variabilidade como consecuencia do incremento nas calificacións dos alumnos con máis aptitudes matemáticas e non por unha melloría xeral.

Diferencias entre grupos noutras materias aínda que as diferencias máis significativas danse en matemáticas.

Trátase dunha experiencia puntual. Interesante repetir a experiencia con outros cursos, localidades, tipoloxías (privado, concertado), e duración no tempo.